Haar测度

根据命题 1.17，$f$连续意味着对于$Y$的任意开集$U$，$f^{-1}(U)$是开集，因而也在$\mathcal{B}(X)$内。 根据命题 12.11，由于$\mathcal{B}(Y)$是由所有开集$U$生成的$\sigma$-代数，故$f$是Borel可测的。

1. 定义映射$f_{\alpha }:G\to G\times G$为$f_a(x)=(a,x)$，则$f_a=(c_a,\mathrm{id})$，其中常映射$c_a$和单位映射$\mathrm{id}$在$G$上均连续。 利用乘积拓扑的泛性质（定理 A.2），$f_a$连续。 结合复合映射的连续性（命题 A.3）与拓扑群的定义，映射$x\mapsto ax$是连续的。 类似地，$x\mapsto xa$也连续，而$x\mapsto x^{-1}$的连续性源于拓扑群的定义。 对于逆映射，其相当于将$a\in G$替换为其逆元$a^{-1}$，完全相同的思路可证明逆映射的连续性。 因此这些映射为同胚；

2. 对于任意$U\in \mathcal{U}$，首先$U$是$e$的开邻域，其次存在$V\in \mathcal{U}$使得$V\subseteq U$。 根据上一条结论，$x\mapsto ax$是开映射，因此$aU$也是开集，同时$a=ae\in aU$； 也存在$aV$使得$aV\subseteq aU$。 因此$\left\{aU|U\in \mathcal{U}\right\}$构成$a$的邻域系的基； 类似地，$\left\{Ua|U\in \mathcal{U}\right\}$也是$a$的邻域系的基；

3. 设${\cup }_{i=1}^n{U}_i$和${\cup }_{j=1}^m{V}_j$分别为$K$和$L$的有限开覆盖，那么对于任意$x\in aK$，存在指标$i$使得$a^{-1}x\in U_i$，因此$x\in a{U}_i\subseteq {\cup }_{i=1}^n(a{U}_i)$。 根据第一条结论，$x\mapsto ax$是开映射，故$a{U}_i$也是开集，从而${\cup }_{i=1}^n(a{U}_i)$是$aK$的有限开覆盖，即$aK$紧致。 类似地，$Ka$和$K^{-1}$也是$G$的紧子集。 对于任意$a\in L$，${\left\{U_{i}a\right\}}_{i=1}^n$构成$Ka$的有限子覆盖； 而$a\in L\subseteq {\cup }_{j=1}^m{V}_j$意味着存在指标$j$使得$a\in V_j$。 因此对于任意$x\in KL$，存在$a\in L$使得$x{a}^{-1}\in {\cup }_{i=1}^m(U_i)$，即$x\in {\cup }_{i=1}^m(U_{i}a)\subseteq {\cup }_{i=1}^m(U_i{V}_j)\subseteq {\cup }_{i,j}{U}_i{V}_j$。 可见$KL$紧致。

1. 由于映射$(x,y)\mapsto xy$连续，该映射关于$U$的原像$W=\left\{(x,y)|xy\in W\right\}$是开集，并且$(e,e)\in W$。 根据命题 A.2，存在$e$的开邻域$V_1,V_2\subseteq G$使得$V_1\times V_2\subseteq W$. 那么集合$V=V_1\cap V_2$也是$e$的开邻域，满足$V\times V\subseteq W$，进而在映射$(x,y)\mapsto xy$下，$VV\subseteq U$；

2. 由于映射$x\mapsto x^{-1}$连续，如果$U$是$e$的开邻域，那么$U^{-1}$也是$e$的开邻域，从而$V=U\cap U^{-1}\subseteq U$是$e$的对称开邻域。

设$f\in \mathcal{K}(G)$且$K=\mathrm{supp}(f)$紧致，$ϵ$为任意正数。 由于$f$连续，对于$K$中的每个$x$，可以如下选择$e$的开邻域$U_x$： 根据命题 13.1，$x{U}_x$是$x$的开邻域，因此存在$U_x$使得$\left|f(x)-f(y)\right|<ϵ/2$对任意$y\in x{U}_x$成立。 利用命题 13.2，对于这样的开邻域$U_x$，可选择开邻域$V_x$，使得$V_x{V}_x\subseteq U_x$； 而命题 13.1表明$x{V}_x$为$x$的开邻域，因此${\cup }_{x\in K}(x{V}_x)$构成$K$的一个开覆盖。 $K$的紧致性表明，存在$K$中有限个点$x_1,\cdots ,x_n$以及对应的开邻域$V_1,\cdots ,V_n$，使得$K\subseteq {\cup }_{i=1}^n(x_i{V}_i)$。 根据命题 13.2，存在包含在$e$的开邻域${\cap }_{i=1}^n{V}_i$内的对称开邻域$V$，我们希望证明： 若$x,y\in G$且$y\in xV$，则$\left|f(x)-f(y)\right|<ϵ$。 对于任意$x,y\in G$，当$x\notin K$且$y\notin K$时，显然$f(x)=f(y)=0$，进而$\left|f(x)-f(y)\right|=0<ϵ$自然成立； 当$x\in K$时，对于任意$y\in xV$，由于$x\in K\subseteq {\cup }_{i=1}^n(x_i{V}_i)$，此时存在指标$i$使得$x\in x_i{V}_i\subseteq x_i{U}_{x_i}$，同时$y\in xV\subseteq (x_i{V}_i)V_i\subseteq x_i{U}_{x_i}$。 这意味着存在指标$i$使得$x,y\in x_i{U}_{x_i}$； 回顾$U_x$的构造，可知此时$\left|f(x_i)-f(x)\right|<ϵ/2$且$\left|f(x_i)-f(y)\right|<ϵ/2$，进而$\left|f(x)-f(y)\right|<ϵ$； 当$y\in K$时，对于任意$y\in xV$，由于$V$是$e$的对称开邻域，此时该条件等价于$x\in yV$且$y\in K$。 采用与前文相同的证明（仅交换符号$x$和$y$），同样得到$\overline{f(y)-f(x)}<ϵ$。 因此$f$是左一致连续的，其右一致连续性类似可证。

设$K=\mathrm{supp}(f)$； 对于任意$x_0\in G$，根据局部紧的定义，设$W$为$x_0$的闭包紧致的开邻域。 根据命题 13.1以及复合映射的连续性（命题 A.3），对于$W$中的每个$x$，映射$y\mapsto f(yx)$是连续的； 此外，当$y\notin K{\bar{W}}^{-1}$时，假设存在$x\in W$使得$f(yx)\ne 0$，那么$yx\in K$，进而$y\in K{x}^{-1}\subseteq K{W}^{-1}\subseteq K{\bar{W}}^{-1}$，矛盾。 因此$f$在$K{\bar{W}}^{-1}$外的函数值为0。 根据命题 13.1，${\bar{W}}^{-1}$紧致，进而$K{\bar{W}}^{-1}$紧致，因此正则Borel测度要求$\mu (K{\bar{W}}^{-1})<+\infty$。 设$ϵ$为任意正数，那么存在正数${ϵ}^{\prime }<ϵ/\mu (K{\bar{W}}^{-1})$。 根据命题 13.3，$f$左一致连续，因此存在$e$的开邻域$V$和任意满足$s\in tV$的$s,t\in G$，使得$\left|f(s)-f(t)\right|<{ϵ}^{\prime }$。 那么对于每个$x\in W\cap (x_{0}V)$和$y\in G$，首先有$yx\in y(x_{0}V)=(y{x}_0)V$； 根据命题 12.16和命题 12.17，取$s=yx,t=y{x}_0$可得

综上，对于任意$x_0\in G$，在其闭包紧致的开邻域内存在开邻域$U$，使得$\left|\int f(yx)\mu (\mathrm{d}y)-\int f(y{x}_0)\mu (\mathrm{d}y)\right|<ϵ$对任意正数$ϵ$和任意$x\in U$成立； 可见映射$x\mapsto \int f(xy)\mu (\mathrm{d}y)$连续。 类似地，映射$x\mapsto \int f(yx)\mu (\mathrm{d}y)$也连续。

由于$\mu$正则且非零，假设$\mu (K)=0$对所有紧致集成立，那么$\mu$的正则性要求开集$G$的测度$\mu (G)=0$，与$\mu$非零矛盾。 因此存在紧致集$K$使得$\mu (K)>0$，设$U$为$G$的非空开子集，则${\cup }_{x\in G}(xU)$是$K$的一个开覆盖。 那么存在$x_1,\cdots ,x_n\in G$使得$K\subseteq {\cup }_{i=1}^n(x_{i}U)$。 根据命题 11.5和命题 11.6以及Haar测度的左平移不变性，$\mu (K)\le \mu ({\cup }_{i=1}^n{x}_{i}U)\le {\sum }_{i=1}^n\mu (x_{i}U)={\sum }_{i=1}^n\mu (U)=n\mu (U)$，因此$\mu (U)>0$。 现在设$f\in \mathcal{K}(G)$为不恒为零的非负函数，那么存在正数$ϵ$和非空开集$U$使得$f\ge ϵ{\chi }_U$。 因此根据命题 12.16，$\int f\mathrm{d}\mu \ge \int ϵ{\chi }_U\mathrm{d}\mu =ϵ\mu (U)>0$。

设$g\in \mathcal{K}(G)$为不恒为零的非负函数，$f\in \mathcal{K}(G)$为任意函数。 根据引理 13.2，$\int g\mathrm{d}\mu >0$，同时可证明（参见^[3]）$\int f\mathrm{d}\mu /\int g\mathrm{d}\mu$仅依赖于函数$f$和$g$、不依赖于特定的Haar测度$\mu$。 因此对于不同的Haar测度$\mu$和$\nu$，记正实数$c=\int g\mathrm{d}\mu /\int g\mathrm{d}\mu$，上述定理表明$\int f\mathrm{d}\nu =c\int f\mathrm{d}\mu$。 根据Riesz表示定理 13.1，上式对每个$\mathcal{K}(G)$中的$f$成立，因此测度唯一，即$\nu =c\mu$。

首先考虑$f$为简单可测函数的情形，不妨设$f={\sum }_{i=1}^m{a}_i{\chi }_{A_i}$，那么根据命题 12.12，

另一方面，根据定义容易逐点验证$\check{f}={\sum }_{i=1}^m{a}_i{\chi }_{A_i^{-1}}$，因此$\int f\mathrm{d}\check{\mu }=\int \check{f}\mathrm{d}\mu$。 若$f$为$G$上的非负Borel函数，根据定义 12.7，对于任意满足$g\le f$的简单函数$g$，考虑任意$x\in G$，有$\check{g}(x)=g(x^{-1})\le f(x^{-1})=\check{f}$，因此$\check{g}\le \check{f}$也成立。 由于$\int \check{g}\mathrm{d}\mu =\int g\mathrm{d}\check{\mu }\le \int f\mathrm{d}\check{\mu }$对所有满足$\check{g}\le \check{f}$的简单函数$\check{g}$成立，故$\int \check{f}\mathrm{d}\mu \le \int f\mathrm{d}\check{\mu }$； 类似地$\int f\mathrm{d}\check{\mu }\le \int \check{f}\mathrm{d}\mu$，从而两者相等。 对于$\check{\mu }$-可积的函数，其正部$f^{+}$和负部$f^{-}$分别满足$\int f^{+}\mathrm{d}\check{\mu }=\int {\check{f}}^{+}\mathrm{d}\mu$和$\int f^{-}\mathrm{d}\check{\mu }=\int {\check{f}}^{-}\mathrm{d}\mu$，因此$\int f\mathrm{d}\check{\mu }=\int \check{f}\mathrm{d}\mu$。

利用恒等式$(Ax{)}^{-1}=\left\{(ax{)}^{-1}|a\in A\right\}=\left\{x^{-1}{a}^{-1}|a\in A\right\}=x^{-1}{A}^{-1}$，$\check{\mu }(Ax)=\mu (x^{-1}{A}^{-1})=\mu (A^{-1})=\check{\mu }(A)$对每个$x\in G$和每个$A\in \mathcal{B}(G)$成立当且仅当$\mu$是左Haar测度。 利用$\check{\stackrel{ˇ}{\mu }}=\mu$可证明另一结论。

结合定理 13.2、定理 13.3和命题 13.5可直接证明该结论。

若$G$紧致，则$\mu$的正则性要求$\mu (G)<+\infty$，必要性得证； 若$\mu$有限，根据引理 13.2的证明，存在$G$的紧子集$K$使得$\mu (K)>0$。 $\mu (G)$的有限性意味着对于那些使得集族${\left\{x_{i}K\right\}}_{i=1}^n$内元素不相交的序列${\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$，$\mu ({\cup }_{i=1}^n{x}_{i}K)=n\mu (K)\le n\mu (G)<+\infty$。 因此$n$有限，从中选择最大者。 那么对于任意$x\in G$，$xK\cap ({\cup }_{i=1}^n{x}_{i}K)\ne \varnothing$，即$x\in (\cup {i=1}^n{x}_{i}K)K^{-1}$。 因此$G\subseteq ({\cup }_{i=1}^n{x}_{i}K)K^{-1}\subseteq G$，即$G=({\cup }_{i=1}^n{x}_{i}K)K^{-1}$紧致（命题 13.1）。

根据命题 13.1，映射$u\mapsto ux$是从$G$到$G$的同胚，因此是$G$上Borel $\sigma$-代数之间的双射； 因此容易验证${\mu }_x$为正则Borel测度。 而$\mu$的左平移不变性意味着${\mu }_x(yA)=\mu (yAx)=\mu (Ax)={\mu }_x(A)$对任意$x,y\in G$和$A\in \mathcal{B}(G)$成立，那么${\mu }_x$也是$G$上的左Haar测度。 根据定理 13.3，对每个$x$存在一个正数$\Delta (x)$，使得${\mu }_x=\Delta (x)\mu$。 设$\nu$是$G$上的另一个左Haar测度，根据定理 13.2，存在正实数$c$使得$\nu =c\mu$，那么${\nu }_x=c{\mu }_x=c\Delta (x)\mu =\Delta (x)\nu$对每个$x\in G$成立，从而$\Delta$不依赖于特定的Haar测度。

1. 设$\mu$为$G$上的左Haar测度，$f\in \mathcal{K}(G)$是不恒为零的非负函数。 根据引理 13.2，$\int f\mathrm{d}\mu >0$。 类似命题 13.4的思路，可证明$\int f_x\mathrm{d}\mu =\Delta (x)\int f\mathrm{d}\mu$。 最后利用推论 13.1，可证明映射$x\mapsto \int f(yx)\mathrm{d}\mu =\Delta (x)\int f\mathrm{d}\mu$连续，即取定$f$后$\Delta$连续；

2. 直接验证： $\Delta (xy)\mu (A)={\mu }_{xy}(A)=\mu (Axy)=\Delta (y)\mu (Ax)=\Delta (x)\Delta (y)\mu (A)$对任意$A\in \mathcal{B}(G)$成立，因此$\Delta (xy)=\Delta (x)\Delta (y)$。

设$G$为紧群，$\Delta$为其模函数。 根据命题 13.8，容易由归纳法证明$\Delta (x^n)=\Delta (x{)}^n$对每个$x\in G$和每个$n\in \mathbb{N}$成立。 根据命题 13.6，$G$的紧致性要求$\mu$有限。 假设$\Delta (x)>1$，那么根据Archimedean性质（命题 1.19），对于每个$A\in \mathcal{B}(G)$和任意正数$M$，存在$n\in \mathbb{N}$使得${\mu }_{x^n}(A)=(\Delta (x){)}^n\mu (A)>M$，矛盾。 因此$\Delta (x)\le 1$； 另一方面，若存在$x\in G$使得$0<\Delta (x)<1$，则根据命题 13.8，$\Delta (x^{-1})=\Delta (x{)}^{-1}>1$，同样与有限性矛盾。 因此只能有$\Delta (x)=1$对所有$x\in G$成立，即紧群$G$是幺模的。