向量空间 · 纠缠理论的数学基础

2.1向量空间及其子空间

本节我们首先介绍向量空间的概念，并引出其子结构。

定义 2.1 （向量空间）

设 $F$ 为域，其元素称为标量（scalar）。 $F$ 上的向量空间（vector space） $V$ 是一个非空集合，其元素称为向量（vector）。在该集合上定义了两种运算：第一种运算称为加法（addition），用“ $+$ ”表示，该运算为 $V$ 中每一对向量 $(u, v)$ 赋予 $V$ 中的一个向量 $u + v$ ；第二种运算称为标量乘法（scalar multiplication），用并置表示，该运算为每一对 $(r, u) \in F \times V$ 赋予 $V$ 中的一个向量 $r u$ 。此外，上述运算还需要满足下列性质。

$V$ 在加法下构成Abelian群；
对于任意 $a, b \in F$ 和任意 $u, v \in V$ ，标量乘法满足
1. 分配律： $a (u + v) = a u + a v$ 且 $(a + b) u = a u + b u$ ；
2. 结合律： $(ab) u = a (b u)$ ；
3. 单位元存在性：存在向量 $1 \in V$ 使得 $1 u = u$ 。

注

在域 $F$ 上的向量空间有时也称为 $F$ -空间（ $F$ -space），在实数域上的向量空间称为实向量空间（real vector space），在复数域上的向量空间则称为复向量空间（complex vector space）。

定义 2.2 （线性组合）

设 $S$ 为向量空间的一个非空子集，则 $S$ 上向量的线性组合（linear combination）具有形式 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}$ ，其中 $v_{1}, \dots, v_{n} \in S$ 且 $a_{1}, \dots, a_{n} \in F$ 。标量 $a_{i}$ 称为线性组合的系数（coefficient）。若每个系数 $a_{i}$ 均为零，则称该线性组合平凡（trivial），否则称其非平凡（nontrivial）。

注

需要注意的是，线性组合在定义上天然要求参与求和的项数有限，因此级数展开并不属于线性组合。

例 2.1

设 $F$ 为域，则所有从 $F$ 到 $F$ 的函数集合 $F^{F}$ 是 $F$ 上的一个向量空间，其加法和标量乘法分别定义为

$(f + g) (x) = f (x) + g (x) and (a f) (x) = a f (x) .$
(2.1.1)
所有元素取自 $F$ 的 $m \times n$ 矩阵集合 $M_{m, n} (F)$ 构成 $F$ 上的一个向量空间，其加法和标量乘法为通常的矩阵加法和标量乘法；
所有元素取自 $F$ 的 $n$ 元组 $F^{n}$ 构成 $F$ 上的一个向量空间，其加法和标量乘法按分量定义：

$(a_{1}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n}) and c (a_{1}, \dots, a_{n}) = (c a_{1}, \dots, c a_{n}) .$
(2.1.2)

为了简便，我们也用列向量的形式写出 $F^{n}$ 中的元素；
所有元素取自域 $F$ 的无穷序列构成的集合是一个向量空间，其运算也按分量定义

$(s_{n}) + (t_{n}) = (s_{n} + t_{n}) and a (s_{n}) = (a s_{n}) .$
(2.1.3)

类似地，所有收敛到0的复数列构成的集合、所有有界复数列构成的集合、所有满足 $\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ s_{n} ∣^{p} < \infty$ （ $p$ 为正整数）的复数列 $(s_{n})$ 构成的集合，均构成一个向量空间。

定义 2.3 （子空间）

设 $S$ 是 $V$ 的一个子集，若将 $V$ 上的运算限制在 $S$ 上，并且 $S$ 在该运算下构成向量空间，则称 $S$ 是 $V$ 的一个子空间（subspace）。通常用 $S \leq V$ 表示 $S$ 是 $V$ 的子空间，而用 $S < V$ 表示 $S$ 是 $V$ 的真子空间（proper subspace），即 $S \leq V$ 但 $S \neq = V$ 。 $V$ 的零子空间（zero subspace）为 ${0}$ 。

由于加法与标量乘法的性质在非空子集 $S$ 中必然成立，因此可通过 $S$ 在 $V$ 的运算下是否封闭确定其是否构成一个子空间。我们有如下结果。

命题 2.1

向量空间 $V$ 的非空子集 $S$ 构成 $V$ 的一个子空间当且仅当 $S$ 在加法和标量乘法下封闭，或者等价地， $S$ 在线性组合下封闭，即

a, b \in F and u, v \in S ⟹ a u + b v \in S .

(2.1.4)

向量空间 $V$ 的所有子空间构成的集合 $S (V)$ 在集合包含意义下构成偏序集。零空间 ${0}$ 是 $S (V)$ 中最小的元素，而全空间 $V$ 是最大的元素。若 $S, T \in S (V)$ ，则 $S \cap T$ 是 $V$ 中同时包含于 $S$ 和 $T$ 的最大子空间。就集合包含而言， $S \cap T$ 为 $S$ 和 $T$ 的下确界，记作 $S \cap T = glb {S, T}$ ；类似地，若 ${S_{k} ∣ k \in K}$ 为 $V$ 的任一子空间族，那么其交集 $\cap_{k \in K} S_{k} = glb {S_{k} ∣ k \in K}$ 为子空间的下确界。另一方面，若 $S, T \in S (V)$ 且 $F$ 无限，那么 $S \cup T \in S (V)$ 当且仅当 $S \subseteq T$ 或 $T \subseteq S$ 。那么为了确定 $V$ 内包含 $S$ 和 $T$ 的最小子空间，我们引出如下定义。

定义 2.4 （子空间的和）

设 $S$ 和 $T$ 为 $V$ 的子空间，其和定义为 $S + T = {u + v ∣ u \in S, v \in T}$ 。更一般地，任意子空间族 ${S_{k} ∣ k \in K}$ 的和为所有来自并集 $\cup_{k} S_{k}$ 的向量的有限和构成的集合，即

k \in K \sum S_{k} = {s_{1} + \dots + s_{n} ∣ s_{j} \in \cup_{k \in S} S_{k}, n \in N},

(2.1.5)

其中 $s_{j}$ 是某个子空间内的向量嵌入更大向量空间 $\cup_{k \in K} S_{k}$ 后的表示。

不难验证 $V$ 内任意子空间族的和为 $V$ 的一个子空间，并且就集合包含而言，该和为上确界，即 $S + T = lub {S, T}$ 。更一般地， $\sum_{k \in K} S_{k} = lub {S_{k} ∣ k \in K}$ 。若偏序集 $P$ 具有每对元素均具有上确界和下确界的性质，则称 $P$ 为格（lattice）。若 $P$ 具有最小元和最大元（存在即唯一），并且每个元素族均有上确界和下确界，则称 $P$ 为完全格（complete lattice）。因此我们有如下结论。

命题 2.2 （子空间格）

向量空间 $V$ 的所有子空间构成的集合 $S (V)$ 在集合包含下构成完全格，其最小元为 ${0}$ 、最大元为 $V$ ，即

glb {S_{k} ∣ k \in K} = k \in K ⋂ S_{k} and lub {S_{k} ∣ k \in K} = k \in K \sum S_{k} .

(2.1.6)

2.2生成集与线性无关

定义 2.5 （生成集）

由 $V$ 中一个向量积 $S$ 张成（span）或生成（generate）的子空间为 $S$ 中所有线性组合构成的集合，即

⟨ S ⟩ = spac (S) = {r_{1} v_{1} + \dots + r_{n} v_{n} ∣ r_{i} \in F, v_{i} \in V} .

(2.2.1)

当 $S = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ 是一个有限集时，我们用符号 $⟨ v_{1}, \dots, v_{n} ⟩$ 或 $span (v_{1}, \dots, v_{n})$ 表示。若 $V = span (S)$ ，则称 $V$ 中的集合 $S$ 张成/生成 $V$ ，即每个 $v \in V$ 可写为

v = r_{1} v_{1} + \dots + r_{n} v_{b}, where r_{i} \in F, v_{i} \in S .

(2.2.2)

注

显然任何生成集的超集（superset）均为生成集，并且所有向量都具有生成集（自身作为生成集）。

定义 2.6 （线性无关与线性相关）

对于 $V$ 中非空向量集 $S$ 中的任意元素 $v_{1}, \dots, v_{n}$ ，若其满足

r_{1} v_{1} + \dots + r_{n} v_{n} = 0 ⟹ r_{1} = \dots = r_{n} = 0,

(2.2.3)

则称 $S$ 线性无关（linearly independent）；反之称其线性相关（linearly dependent）。

注

根据上述定义，线性无关集的任意非空子集也是线性无关的。

命题 2.3

设 $S$ 为 $V$ 内的向量集，则下列表述等价：

$S$ 线性无关；
$span (S)$ 中每个向量可唯一表示为 $S$ 内向量的线性组合；
$S$ 内没有向量可表示为其余向量的线性组合。

证明

若表述1成立，对于任意向量 $v \in span (S)$ ，若存在 $S$ 的两组向量和 $F$ 上的两组系数使得

$v = r_{1} u_{1} + \dots + r_{n} u_{n} = s_{1} v_{1} + \dots + s_{m} v_{m} .$
(2.2.4)

当 $v = 0$ 时，则自然所有系数均为零，该平凡表示唯一；反之存在指标 $i$ 和 $j$ 使得 $u_{i} = t v_{j}$ ，其中 $t \in F$ 非零，则将其移到等式右边，合并得到项 $(s_{j} - t r_{i}) v_{j}$ 。如此操作后得到形如 $\sum_{i} r_{i} u_{i} + \sum_{j} (- s_{j}) v_{j} = 0$ 的等式，其中所有 $s_{i}$ 和 $v_{j}$ 均线性无关。因此 $r_{i} = 0$ 和 $s_{j} = 0$ 对所有系数成立，从而该表示唯一；
若表述2成立，假设存在 $v_{i} \in S$ 使得 $v_{i} = \sum_{j \neq = i} r_{j} v_{j}$ 对某组 $r_{j} \in F$ 成立，其中 $v_{j}$ 为 $S$ 内其余向量。那么 $span (S)$ 内的零向量至少存在两种表示： $\sum_{j} 0 \cdot v_{j}$ 和 $- v_{i} + \sum_{j \neq = i} r_{j} v_{j}$ ，矛盾。因此表述3成立；
若表述3成立，那么对于 $S$ 内的向量 $v_{1}, \dots, v_{n}$ ，存在 $r_{1}, \dots, r_{n} \in F$ 使得 $r_{1} v_{1} + \dots + r_{n} v_{n} = 0$ 。假设存在某个 $r_{i} \neq = 0$ ，那么 $v_{i} = \sum_{j \neq = i} (- r_{j} / r_{i}) v_{j}$ ，这与表述3矛盾。因此所有 $r_{i} = 0$ ，即 $S$ 线性无关。

有了上述结果，我们可将生成集与线性无关的概念相联系。

定理 2.1

设 $S$ 为 $V$ 内的向量积，则下列表述等价：

$S$ 线性无关且张成 $V$ ；
对于每个向量 $v \in V$ ，存在 $S$ 内唯一向量集 ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ 以及 $F$ 中唯一的标量集 ${r_{1}, \dots, r_{n}}$ ，使得 $v = r_{1} v_{1} + \dots + r_{n} v_{n}$ ；
$S$ 是极小生成集（minimal spanning set），即 $S$ 可张成 $V$ ，但任意 $S$ 的真子集均无法张成 $V$ ；
$S$ 是极大线性无关集（maximal linearly independent set），即 $S$ 线性无关，但 $S$ 的真超集线性相关。

证明

根据命题 2.3，显然表述1和2等价。

若表述1成立，已知 $S$ 可张成 $V$ ，不妨假设存在 $v \in S$ ，使得 $span (S \ {v}) = V$ 且 $S \ {v}$ 线性无关。那么对于 $v \in V$ 而言，存在 $S \ {v}$ 内唯一向量集 ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ 和 $F$ 上唯一标量集 ${r_{1}, \dots, r_{n}}$ ，使得 $v = \sum_{i = 1}^{n} r_{i} v_{i}$ 。但这与 $S$ 线性无关矛盾，故任意 $S$ 的真子集无法张成 $V$ ，表述3成立；反之若存在 $S$ 内的向量 $v_{i}$ 可表示为其余向量的线性组合，记为 $\sum_{j \neq = i} r_{j} v_{j}$ ，那么对于任意 $v \in V$ ，存在 $s_{j} \in F$ 使得

$v = j \sum s_{j} v_{j} = s_{i} j \neq = i \sum r_{j} v_{j} + j \neq = i \sum s_{j} v_{j} = j \neq = i \sum (s_{i} r_{j} + s_{j}) v_{j} \in span (S \ {v_{i}}),$
(2.2.5)

这与条件矛盾，因此 $S$ 线性无关；
若表述1成立，则对于任意 $v \in V$ ，存在 $r_{i} \in F$ 使得 $v = \sum_{i} r_{i} v_{i}$ ，其中 $v_{i} \in S$ 。可见 $S \cup {v}$ 线性相关，即 $S$ 的任意真超集线性相关；反之若存在向量 $v \in V$ 不属于 $span (S)$ ，那么 $S \cup {v}$ 也是线性无关集，矛盾。因此表述1成立。

根据此结果，我们可以定义向量空间的基。

定义 2.7 （基）

向量空间 $V$ 中满足定理 2.1的任一条件的向量集称为 $V$ 的基（basis）。

例 2.2

$F^{n}$ 中的第 $i$ 个标准向量（standard vector）时除了第 $i$ 个坐标为1、其余坐标为0的向量 $e_{i}$ ，例如 $e_{1} = (1, 0, \dots, 0)$ 。集合 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 称为 $S$ 的标准基（standard basis）。

作为Zorn引理的直接结论，每个向量空间都有一组基。

定理 2.2

设 $V$ 为非空向量空间， $I$ 为 $V$ 中的线性无关集， $S$ 为包含 $I$ 的一个生成集，则存在 $V$ 的一组基 $B$ 使得 $I \subseteq B \subseteq S$ 。特别地，

任意向量空间（除去零空间）具有一组基；
$V$ 中任意线性无关集包含在一组基内；
$V$ 中任意生成集包含一组基。

证明

记 $V$ 中包含 $I$ 且包含于 $S$ 的所有线性无关子集构成的集族为 $A$ 。由于 $I \in A$ ，故 $A$ 非空。若 $C = {I_{k} ∣ k \in K}$ 为 $A$ 内的一条链，则其并集 $U = \cup_{k \in K} I_{k} \in A$ ，否则存在指标 $k$ 使得 $I_{k} \in / A$ ，这与条件矛盾。根据Zorn引理（定理 1.1）， $A$ 内的每条链都具有属于 $A$ 的一个上界 $U$ ，因此 $A$ 必然包含一个极大元 $B$ ，且 $B$ 同样线性无关，因此 $I \subseteq B \subseteq S$ 。此时仍需证明¹ $B$ 可张成 $V$ 。假设存在向量 $v \in V$ 使得 $v \in / ⟨ B ⟩$ ，根据命题 2.3， $B \cup {v}$ 线性无关，但这与 $B$ 是极大元的事实矛盾。因此 $⟨ B ⟩ = V$ ，由定理 2.1， $B$ 是 $V$ 内一组基。任意向量空间内任意向量自身构成一个线性无关集，同时全空间构成一个生成集，从而该空间总是具有一组基；剩余结论显然。

2.3向量空间的维数

有了基的概念之后，几个很自然的问题是：一个向量空间内是否存在不止一组基？这些基之间具有什么关系？为了解答这些疑问，我们介绍一个引理。

引理 2.1

设 $V$ 为向量空间，向量 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 线性无关且 $s_{1}, \dots, s_{m}$ 张成 $V$ ，则 $n \leq m$ 。

证明

我们将 $v_{1}$ 移至生成集内，则 $v_{1}$ 可表示为 $s_{1}, \dots, s_{m}$ 的线性组合，其中至少一个 $s_{i}$ 的系数为零。不妨设该元素为 $s_{1}$ （若不为 $s_{1}$ ，则将元素重排），那么可将 $s_{1}$ 剔除，替换为 $v_{1}$ ，从而构成新的生成集 ${v_{1}, s_{2}, \dots, s_{m}}$ 。再将 $v_{2}$ 移至新的生成集内，则 $v_{2}$ 可表示为 $v_{1}, s_{2}, \dots, s_{m}$ 的线性组合，其中至少一个 $s_{j}$ 的系数为零，否则 $v_{2} = r v_{1}$ 对某个 $r \in F$ 成立。设 $s_{j}$ 为 $v_{2}$ ，将 $s_{2}$ 剔除并替换为 $v_{2}$ ，得到新的生成集 ${v_{1}, v_{2}, s_{3}, \dots, s_{m}}$ ，依此类推。若 $n > m$ ，则最终所有 $s$ 耗尽，得到生成集 ${v_{1}, \dots, v_{m}}$ 和剩余线性无关集 ${v_{m + 1}, \dots, v_{n}}$ ，但线性无关性要求 $v_{n} \in / ⟨ v_{1}, \dots, v_{m} ⟩$ （命题 2.3），这与生成集的要求矛盾，故 $n \leq m$ 。

定理 2.3

若 $V$ 为向量空间，则 $V$ 中任意两组基具有相同的基数。

证明

对于有限生成的 $V$ 及其两组基 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ，引理 2.1要求 $∣ B_{1} ∣ \leq ∣ B_{2} ∣$ 且 $∣ B_{2} ∣ \leq ∣ B_{1} ∣$ ，进而 $∣ B_{1} ∣ = ∣ B_{2} ∣$ 。对于无穷集，设 $B = {b_{i} ∣ i \in I}$ 为 $V$ 的一组基，而 $C$ 为另一组基，则其中任一元素 $c$ 可表示为 $B$ 中向量的线性组合，即存在有限指标集 $U_{c} \subseteq K$ 和 $r_{i} \in F$ 使得 $c = \sum_{i \in U_{c}} r_{i} b_{i}$ 。显然 $\cup_{c \in C} U_{c} \subseteq I$ ，不妨假设存在指标 $i \in / \cup_{c \in C} U_{c}$ ，那么 $C$ 中的元素均可表示为 $B \ {b_{i}}$ 中元素的线性组合，进而 $V = ⟨ C ⟩ \subseteq ⟨ B \ {b_{i}} ⟩$ 。但 $b_{i} \in / ⟨ B \ {b_{i}} ⟩ = V$ ，矛盾。因此 $\cup_{c \in C} U_{c} = I$ 。由于 $c$ 可表示为 $B$ 内向量的线性组合，故 $∣ U_{c} ∣ < ℵ_{0}$ 。根据命题 1.4和命题 1.6，

∣ B ∣ = ∣ I ∣ = ∣ \cup_{c \in C} U_{c} ∣ \leq ℵ_{0} \cdot ∣ C ∣ = max {ℵ_{0}, ∣ C ∣} = ∣ C ∣,

(2.3.1)

其中已利用 $ℵ_{0}$ 是最小无穷势的事实。类似地， $∣ C ∣ \leq ∣ B ∣$ ，进而 $∣ B ∣ = ∣ C ∣$ 。

由此我们可以正式引入向量空间的维数的定义。

定义 2.8 （向量空间的维数）

若向量空间 $V$ 为零空间或具有有限个数的基，则称其有限维（finite-dimensional）；其余所有向量空间都是无穷维的（infinite-dimensional）。零空间的维数是0，任意非零向量空间 $V$ 的维数定义为 $V$ 中任一组基的基数。换言之，若向量空间 $V$ 有一组基数为 $κ$ 的基，则称 $V$ 是 $κ$ 维的（ $κ$ -dimensional），记作 $dim (V) = κ$ 。

即便有了维数的概念，有时在一组基下的表示在重排的意义下也是不唯一的，由此引出如下概念。

定义 2.9 （有序基）

设 $V$ 为 $n$ 维向量空间，则 $V$ 的一组有序基（ordered basis）为有序 $n$ 元向量组 $(v_{1}, \dots, v_{n})$ ，其中集合 ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ 为 $V$ 的一组基。

若 $B = (v_{1}, \dots, v_{n})$ 为 $V$ 的一组有序基，那么对于每个 $v \in V$ ，总存在唯一有序 $n$ 元标量组 $(r_{1}, \dots, r_{n})$ ，满足 $v = r_{1} v_{1} + \dots r_{n} v_{n}$ 。据此我们可定义坐标映射（coordinate map）

ϕ_{B} (v) : V \to F^{n} for which ϕ_{B} (v) = [v]_{B} = (r_{1}, \dots, r_{n})^{T},

(2.3.2)

其中列向量 $[v]_{B}$ 是熟知的 $v$ 关于有序基 $B$ 的坐标矩阵（coordinate matrix）。显然，知道 $[v]_{B}$ 等价于知道了 $v$ 。

2.4外直和与内直和

在本节中，我们会介绍一种从旧向量空间构建新向量空间的方式：直和。张量积我们将放在附录第该章未收录章介绍。

4.1 外直和

定义 2.10 （外直和）

设 $V_{1}, \dots, V_{n}$ 为域 $F$ 上的向量空间，则 $V_{1}, \dots, V_{n}$ 的外直和（external direct product） $V_{1} ⊞ \dots ⊞ V_{n}$ 构成一个新的向量空间 $V$ ，其元素为有序 $n$ 元组：

V = {(v_{1}, \dots, v_{n}) ∣ v_{i} \in V_{i}, i = 1, \dots, n},

(2.4.1)

其按分量定义的运算为

(u_{1}, \dots, u_{n}) + (v_{1}, \dots, v_{n}) = (u_{1} + v_{1}, \dots, u_{n} + v_{n}) and r (v_{1}, \dots, v_{n}) = (r v_{1}, \dots, r v_{n}) .

(2.4.2)

例 2.3

向量空间 $F^{n}$ 为 $n$ 个副本的外直和，即 $F^{n} = n terms F ⊞ \dots ⊞ F$ 。

定义 2.11 （直积）

设 $F = {V_{k} ∣ k \in K}$ 为域 $F$ 上的向量空间族，则 $F$ 的直积（direct sum）为向量空间

k \in K \prod V_{k} = {f : K \to \cup_{k \in K} V_{k} ∣ f (k) \in V_{k}},

(2.4.3)

其被视为所有从 $K$ 到 $\cup_{k} V_{k}$ 的函数构成的向量空间的子空间。

有了直积的概念，我们就可以引入支撑集的概念。

定义 2.12 （支撑集）

设 $F = {V_{k} ∣ k \in K}$ 为域 $F$ 上的向量空间族，则函数 $f : K \to \cup_{k} V_{k}$ 的支撑集（support）定义为集合 $supp (f) = {k \in K ∣ f (k) \neq = 0}$ 。若函数 $f$ 除去有限个指标 $k \in K$ 外均取值为0，则称 $f$ 具有有限支撑（finite support）。族 $F$ 的外直和为向量空间

k \in K ⨁ V_{k} = {f : K \to \cup_{k \in K} V_{k} ∣ f (k) \in V_{k}, f has finite support},

(2.4.4)

其可视为所有从 $K$ 到 $\cup_{k} V_{k}$ 的函数构成的向量空间的子空间。

注

对于向量空间的有限族（即指标集 $K$ 有限），直积与外直和相同。

4.2 内直和

定义 2.13 （内直和）

设 $V$ 为向量空间，对于 $V$ 的子空间族 $F = {S_{k} ∣ k \in K}$ ，若 $V$ 内的每个向量均可以唯一（不考虑顺序）写为 $F$ 中子空间内向量的有限和，则称 $V$ 是 $F$ 的内直和（internal dircet sum），简称为直和。换言之，对于任意 $V$ 内的向量 $v$ ，若存在 $u_{k}, w_{k} \in S_{k}$ 使得 $v = u_{1} + \dots + u_{n} = w_{1} + \dots + w_{m}$ ，则重排后 $m = n$ 且 $w_{i} = u_{i}$ 对所有 $i = 1, \dots, n$ 成立。若 $V$ 是 $F$ 的直和，那么记 $V = \oplus_{k \in K} S_{k}$ ，并称每个 $S_{k}$ 为 $V$ 的直和项（direct summand）。若 $F = {S_{1}, \dots, S_{n}}$ 为有限族，记 $V = S_{1} \oplus \dots \oplus S_{n}$ 。若 $V = S \oplus T$ ，则 $T$ 称为 $V$ 中 $S$ 的补空间（complement）。

注

后面我们将证明内直和与外直和本质上是等价（同构）的。出于这个考虑，我们不加限定地采用术语“直和”。

定理 2.4

任意向量空间的子空间都具有补空间，即如果 $S$ 为 $V$ 的子空间，则存在子空间 $T$ 使得 $V = S \oplus T$ 。

证明

设 $S$ 的一组基为 $B_{1} = {b_{i} ∣ i \in I}$ ，那么根据定理 2.2，存在 $V$ 中包含 $B_{1}$ 的一组基 $B$ ，记 $B_{2} = B \ B_{1} = {b_{j} ∣ j \in J}$ 且 $T = ⟨ B_{2} ⟩$ 。首先有 $V = ⟨ B ⟩ = ⟨ B_{1} \cup B_{2} ⟩ = ⟨ B_{1} ⟩ + ⟨ B_{2} ⟩ \subseteq V$ ，因此 $V = ⟨ B_{1} ⟩ + ⟨ B_{2} ⟩$ 。对于向量 $v \in ⟨ B_{1} ⟩ \cap ⟨ B_{2} ⟩$ ，存在 $r_{i}, r_{j} \in F$ ，使得 $v = \sum_{i \in I} r_{i} b_{i} = \sum_{j \in J} (- r_{j}) b_{j}$ ，即 $\sum_{i \in I \cup J} r_{i} b_{i} = 0$ 。由于 $B = {b_{i} ∣ i \in I \cup J}$ 是 $V$ 的基，故 $r_{i} = 0$ 对所有 $i \in I \cup J$ 成立，进而 $⟨ B_{1} ⟩ \cap ⟨ B_{2} ⟩ = {0}$ 。综上，存在子空间 $T = ⟨ B_{2} ⟩$ ，使得 $V = S \oplus T$ 。

定理 2.5

向量空间 $V$ 可表示为子空间族 $F = {S_{i} ∣ i \in I}$ 的直和当且仅当

$V$ 为 $S_{i}$ 的和： $V = \sum_{i \in I} S_{i}$ ；
对于每个 $i \in I$ ， $S_{i} \cap (\sum_{j \neq = i} S_{j}) = {0}$ 。

证明

根据直和的定义，充分性是显然的；反之对于必要性， $F$ 中任意两个不同的子空间 $S_{i}$ 和 $S_{j}$ 满足 $S_{i} \cap S_{j} \subseteq S_{i} \cap (\sum_{j \neq = i} S_{j}) = {0}$ ，因此 $S_{i} \cap S_{j} = {0}$ ，结论得证。

在本节的最后，我们给出几条与向量空间的基与维数的结论。

定理 2.6

设 $V$ 为向量空间。

若 $B$ 为 $V$ 的一组基，同时 $B = B_{1} \cup B_{2}$ 且 $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ ，那么 $V = ⟨ B_{1} ⟩ \oplus ⟨ B_{2} ⟩$ ；
设 $V = S \oplus T$ ，若 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 分别为 $S$ 和 $T$ 的一组基，那么 $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ ，并且 $B = B_{1} \cup B_{2}$ 构成 $V$ 的一组基。

证明

设 $B_{1} = {b_{i} ∣ i \in I}, B_{2} = {b_{j} ∣ j \in J}$ ，其中 $I \cap J = \emptyset$ 。那么对于任意 $v \in V$ ，存在 $r_{i} \in I$ ，使得

$v = i = 1 \sum m + n r_{i} b_{i} = i = 1 \sum m r_{i} b_{i} + j = m + 1 \sum m + n r_{j} b_{j} ⟹ V \subseteq ⟨ B_{1} ⟩ + ⟨ B_{2} ⟩ \subseteq V ⟹ V = ⟨ B_{1} ⟩ + ⟨ B_{2} ⟩ .$
(2.4.5)

另外，考虑 $u \in ⟨ B_{1} ⟩ \cap ⟨ B_{2} ⟩$ ，存在 $s_{i}, s_{j} \in F$ 使得 $u = \sum_{i = 1}^{m} s_{i} b_{i} = \sum_{j = m + 1}^{m + n} (- s_{j}) b_{j}$ ，即 $\sum_{i = 1}^{m + n} s_{i} b_{i} = 0$ 。因此 $s_{i} = 0$ 对所有指标 $i$ 成立，即 $⟨ B_{1} ⟩ \cap ⟨ B_{2} ⟩ = {0}$ ；
同上设 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ，假设存在 $v \in B_{1} \cap B_{2}$ ，那么 $v \in ⟨ B_{1} ⟩ \cap ⟨ B_{2} ⟩ = S \cap T = {0}$ ，但零向量与其余任意向量均线性相关，这与 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 为基矛盾，因此 $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ 。另外，对于任意 $v \in V$ ，存在 $s \in S$ 和 $t \in T$ ，使得 $v = s + t \in ⟨ B_{1} ⟩ + ⟨ B_{2} ⟩ = ⟨ B_{1} \cup B_{2} ⟩$ ，即 $B = B_{1} \cup B_{2}$ 生成 $V$ 。假设 $B$ 线性相关，即存在 $b_{i} \in B$ 和 $r_{j} \in F$ ，使得 $b_{i} = \sum_{j \neq = i} r_{j} b_{j}$ 。若 $b_{i} \in B_{1}$ ，设该表达式中分别属于 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 的向量对应的指标集分别为 $I^{'}$ 和 $J^{'}$ ，那么 $\sum_{j \in J^{'}} r_{j} b_{j} = b_{i} - \sum_{i \in I^{'}} r_{i} b_{i} \in S$ ，因此 $r_{j} = 0$ 对所有 $j \in J^{'}$ 成立。此时 $b_{i} = \sum_{i \in I^{'}} r_{i} b_{i}$ ，这与 $B_{1}$ 为基的条件矛盾；若 $b_{i} \in B_{2}$ ，类似分析可知其与 $B_{2}$ 为基他的条件矛盾。因此 $B$ 线性无关，根据定理 2.1， $B$ 为 $V$ 的一组基。

推论 2.1

$V$ 中的有限向量集 $S = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ 为基当且仅当 $V = ⟨ v_{1} ⟩ \oplus \dots \oplus ⟨ v_{n} ⟩$ 。

证明

充分性是显然的；对于必要性，首先设 $S_{1} = ⟨ v_{1} ⟩, T_{1} = ⟨ v_{2} ⟩ \oplus \dots \oplus ⟨ v_{n} ⟩$ ，那么 $V = S_{1} \oplus T_{1}$ 且 $v_{1}$ 为 $S$ 的基。若存在非零 $v_{i} (i \geq 2)$ 和 $r_{j} \in F$ ，使得 $v_{i} = \sum_{j \neq = i} r_{j} v_{j}$ ，那么至少存在一个 $r_{j} \neq = 0$ ，进而 $⟨ v_{i} ⟩ \subseteq ⟨ v_{j} ⟩$ ，即 ${0} \subseteq ⟨ v_{i} ⟩ = ⟨ v_{i} ⟩ \cap ⟨ v_{j} ⟩$ ，矛盾。因此 $v_{2}, \dots, v_{n}$ 线性无关，构成 $T$ 的一组基。利用上述定理， $v_{1}, \dots, v_{n}$ 构成 $V$ 的一组基。

定理 2.7

设 $S$ 和 $T$ 为向量空间的子空间，则

dim (S) + dim (T) = dim (S + T) + dim (S \cap T) .

(2.4.6)

特别地，若 $T$ 为 $S$ 在 $V$ 中的补空间，则 $dim (S) + dim (T) = dim (V) = dim (S \oplus T)$ 。

证明

设 $B = {b_{i} ∣ i \in I}$ 为 $S \cap T$ 的一组基。根据定理 2.2，可将 $B$ 分别扩张为子空间 $S$ 和 $T$ 内的基 $A \cup B$ 和 $B \cup C$ ，其中 $A = {a_{j} ∣ j \in J}$ 和 $C = {c_{k} ∣ k \in K}$ 与 $B$ 均不相交。显然有 $⟨ A \cup B \cup C ⟩ = ⟨ A \cup B ⟩ + ⟨ B \cup C ⟩ = S + T$ 。考虑线性组合

j \in J \sum r_{j} a_{j} + i \in I \sum r_{i} b_{i} + k \in K \sum r_{k} c_{k} = 0 ⟹ j \in J \sum r_{j} a_{j} = i \in I \sum r_{i} b_{i} - k \in K \sum r_{k} c_{k} \in ⟨ B \cup C ⟩ = T,

(2.4.7)

同时 $x = \sum_{j \in J} r_{j} a_{j} \in ⟨ A ⟩ \subseteq S$ ，因此 $x \in S \cap T = ⟨ B ⟩$ 。根据定理 2.6， $⟨ A ⟩ \cap ⟨ B ⟩ = {0}$ ，从而 $x = \sum_{j \in J} r_{j} a_{j} = 0$ 。利用 $A$ 的线性无关性， $r_{j} = 0$ 对所有 $j \in J$ 成立。类似地， $r_{k} = 0$ 对所有 $k \in K$ 成立，进而 $r_{i} = 0$ 对所有 $i \in I$ 成立。可见 $A \cup B \cup C$ 线性无关。根据定理 2.2， $A \cup B \cup C$ 是 $S + T$ 的一组基。结合基数算术的定义，

dim (S) + dim (T) = ∣ A \cup B ∣ + ∣ B \cup C ∣ = ∣ A ∣ + 2 ∣ B ∣ + ∣ C ∣ = ∣ A \cup B \cup C ∣ + ∣ B ∣ = dim (S + T) + dim (S \cap T) .

(2.4.8)

注

需要强调的是，只有当 $S + T$ 维数有限时，上述结论才可写为 $dim (S + T) = dim (S) + dim (T) - dim (S \cap T)$ ，因为无穷势的减法未定义。

由于 $B$ 是包含于 $S$ 的极大线性无关集，不能直接采用定理 2.1的结论