纠缠理论的数学基础

Mathematical Fundamental for Entanglement

一本关于算子理论、凸几何与测度论的自编讲义。全书 14 章 3 个附录，按四个部分组织，内容取材于高等线性代数、凸几何、测度论与 C*-代数。

14 章3 附录148 页895 定理与定义378 编号公式

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1预备知识4 节

基本概念代数结构度量空间实数基础

第一部分

高等线性代数

Advanced Linear Algebra

2向量空间4 节

向量空间及其子空间生成集与线性无关向量空间的维数外直和与内直和

3线性变换6 节

线性变换及其核与像同构与秩-零化度定理矩阵变换与基变换等价性与相似性不变子空间与约化对投影算子

4同构定理3 节

商空间商空间的泛性质与第一同构定理线性泛函与对偶基

5实内积空间与复内积空间5 节

内积、范数和距离等距性与正交性正交集与标准正交集最佳逼近与投影定理 Riesz表示定理

6本征值与本征向量3 节

本征值与本征向量迹与行列式可对角化算子

7正规算子的结构理论5 节

线性算子的伴随正交投影正规算子泛函演算正算子与极分解

8Hilbert空间4 节

Hilbert空间最佳逼近与Fourier展开 Hilbert基与Hilbert维数 Riesz表示定理

第二部分

凸几何

Convex Geometry

9仿射几何5 节

基本概念仿射组合与仿射包仿射子空间格仿射无关仿射变换

10凸几何5 节

代数性质组合性质拓扑性质支撑与分离极值表示

第三部分

测度论

Measure Theory

11测度5 节

代数与$\sigma$-代数测度外测度 Lebesgue测度的性质完备性与正则性

12函数与积分3 节

可测函数积分极限定理

13Haar测度4 节

局部紧空间拓扑群 Haar测度的存在唯一性 Haar测度的性质

第四部分

C*-代数

C*-Algebras

14Banach空间7 节

赋范空间常见Banach空间有界线性算子的基本性质范数的等价性有限维赋范空间无穷维赋范空间商空间

附录

附录

Appendix

A拓扑基础6 节

拓扑的定义收敛性与连续性同胚拓扑的基与子基乘积拓扑诱导拓扑

B奇异值和Moore-Penrose逆3 节

奇异值 Moore-Penrose逆最小二乘逼近

CSchatten范数3 节

从向量范数到Schatten范数范数的基本性质特殊Schatten范数